2024年湖南长沙中考数学试题及答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
2．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A． B． C． D．
3．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（ ）
A．℃ B．150℃ C．30℃ D．330℃
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ）
A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.6
6．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
8．如图，在△ABC中，，，．则∠1的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，在中，弦AB的长为8，心O到AB的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
10．如图，在菱形ABCD中，，，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作于点P．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．
12．某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______．
13．要使分式有意义，则x需满足的条件是______．
14．半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为______（结果保留）．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若，则AB的长为______
16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4，6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在Rt△ABC中，，，，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．
（1）求CD的长；
（2）求△ACE的周长．
20．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图
类型 | 人数 | 百分比 |
纯电 | m | 54% |
混动 | n | a% |
氢燃料 | 3 | b% |
油车 | 5 | c% |
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
21．如图，点C在线段AD上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求∠ACE的度数．
22．刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
23．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．
（1）求证：；
（2）点E在BC边上，满足．若，，求CE的长及的值
24．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．
（ ）
（2）如图1，已知四边形ABCD内接于，四条边长满足：．
①该四边形ABCD是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若∠BAD的平分线AE交于点E，∠BCD的平分线CF交于点F，连接EF．求证：EF是的直径．
（3）已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH：
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若，，，求内切圆的半径r及OD的长．
25．已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上。
（1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值；
（2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得AB，CD，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于EP的m倍的线段）
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共．10个小题，每小题3分，共30分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | B | C | D | A | B | D | A | C | B | C |
二、填空题．（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．甲； 12．； 13．；
14．4π； 15．24； 16．2009．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题°9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：原式．
18．解：原式．
当时，原式．
19．解：（1）由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
所以在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．
所以．
（2）在Rt△ABC中，．
因为MN是线段AB的垂直平分线，点E在MN上，所以．
所以△ACE的周长．
20．解：（1）50；30，6；
（2）如图所示：
（3）．
（4）（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
21．解：（1）证明：在△ABC与△ADE中，
，所以．
（2）因为，所以，．
所以△ACE是等边三角形．所以．
22．解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．根据题意，得
，解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．根据题意，得
，解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
23．解：（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，且，
所以四边形ABCD是矩形．
所以．
（2）在Rt△ABC中，
所以．
因为，所以．
过点O作OF⊥BC于点F．
因为四边形ABCD是矩形，所以．
所以．
所以．
在Rt△COF中，．
所以．
24．解：（1）①（×）：②（√）；③（√）．
（2）①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；
②证法1：如图1，因为AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
所以，．
所以，即．
所以与均为半圆．
所以EF是的直径．
证法2：如图1，连接AF．
因为四边形ABCD内接于，所以．
因为AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
所以，．所以．
由同弧所对的圆周角相等可得，
所以，即．
所以EF是的直径．
证法3：如图2，连接FD，ED
因为四边形ABCD内接于，所以．
由题意，得，，
由同弧所对的圆周角相等可得：，，
所以，所以．
所以EF是的直径．
（3）①证明：如图3，连接OE，OF，OG，OH，HG．
因为是四边形ABCD的内切圆，
所以OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD．
所以．
所以在四边形EAHO中，．
同理可证．
因为四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
所以四边形ABCD有外接圆．
所以．所以．所以
又因为，，
所以．所以，即．
②方法1：如图4，连接OE，OF，OG，OH．
因为四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
所以．
又因为与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，
所以，．所以．
又因为，所以．
又因为，所以．
所以，即，解得
在Rt△OGC中，有，即，
解得．
在Rt△OBE中，．
同理可证，
所以，即，解得．
方法2：如图4，由，得，
即，解得．
由，得，
即，解得．
25．解：（1）将，代入得
，
②-①得，即．
所以．
（2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个．
方法1：由，得．
可得或．
当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点；
当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点．
方法2：由，得．
可得或．
所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解．
所以该方程根的判别式，即．
因为，所以．
所以原函数图象与x轴必有两个公共点．
方法3：由，可得或．
当时，有q，即，
所以．
此时该函数图象与x轴有两个公共点．
当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点．
（3）因为，所以该函数图象开口向上．
由，得，可得．
由，得，可得．
所以直线AB，CD均与x轴平行．
由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，．
由图象可知，即．
所以的两根为，，可得．
同理的两根为，，可得．
同理的两根为，<img height="24"<p<p<<//img.985ks.com/uploadfile/images/2024/0709/17205338435956999.png" width="17"/>，可得．
由于，结合图象与计算可得，
若存在实数，使得AB，CD，这三条线段组成一个三角形，
且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边．
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为，
所以必须同时满足：，．
将上述各式代入化简可得，且，
联立解之得，，解得符合要求．
所以，此时该函数的最小值为．
②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得
，解得．
因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而，
所以，即，
化简得符合要求．
所以，此时该函数的最小值为．
综上所述，存在两个m的值符合题意；
当时，此时该函数的最小值为；
当时，此时该函数的最小值为
