2024年山东烟台中考数学试卷及答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列实数中的无理数是（ ）
A. 
B. 3.14 C. D.
2. 下列运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4. 实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米
6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
10. 如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________．
12. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）．
13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________．
14. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
15. 如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________．
16. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：
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下列结论：的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17. 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．
18. “山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；
（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
19. 根据收集的素材，探索完成任务
探究太阳能热水器的安装 | ||
素材一 | 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． |
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素材二 | 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时， |
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素材三 | 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼 |
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问题解决 | ||
任务一 | 确定使用数据 | 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填 |
任务二 | 探究安装范围 | 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． |
20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
21. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及的面积．
22. 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
23. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）找出图中所有与相等的线段，并证明；
（3）若，，求的周长．
24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线
（1）分别求抛物线和的表达式；
（2）如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；
（3）如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
【11题答案】
【答案】##
【12题答案】
【答案】（答案不唯一）
【13题答案】
【答案】6
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】##
【16题答案】
【答案】
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
【17题答案】
【答案】，．
【18题答案】
【答案】（1）图见解析
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器
【20题答案】
【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元
（2）这天售出了64辆轮椅
【21题答案】
【答案】（1）
（2），
【22题答案】
【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或
【23题答案】
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）30
【24题答案】
【答案】（1），
（2）
（3）存在，或
