2023年考研数学三真题及参考答案
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1. 已知函数
，则（ ）.
A. 不存在，存在 B. 存在，不存在
C. 存在，存在 D. 不存在，不存在
【答案】A.
【解析】由已知，则
，.
当时，，；
当时，，；
所以不存在.
又，存在.
故选A.
2. 函数的一个原函数为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D.
【解析】由已知，即连续.
所以在处连续且可导，排除A，C.
又时，，
排除B.
故选D.
3. 若的通解在上有界，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】微分方程的特征方程为.
①若 ，则通解为；
②若，则通解为；
③若，则通解为.
由于在上有界，若，则①②③中时通解无界，若，则①②③中时通解无界，故.
时，若 ，则，通解为，在上有界.
时，若，则，通解为，在上无界.
综上可得，.
4. 设，且与收敛，绝对收敛是绝对收敛的（ ）.
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件
【解析】由已知条件可知为收敛的正项级数，进而绝对收敛.
设绝对收敛，则由与比较判别法,得 绝对收玫;
设绝对收敛，则由与比较判别法，得绝对收敛.故选A.
5. 为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】由于
，
故
故选B..
6. 的规范形为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
二次型的矩阵为，
，
，故规范形为，故选B.
7.已知向量组 ，若 既可由 线性表示，又可由线性表示，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，
，
解得，故
.
8.设服从参数为1的泊松分布，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】方法一：由已知可得，,，故
.
故选C.
方法二：由于，于是于是
.
由已知可得，,，故
.
.
故选C.
9.设为来自总体的简单随机样本，为来自总体的简单随机样本，且两样本相互独立，记，，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】由两样本相互独立可得与相互独立，且
，，
因此，故选D.
10. 已知总体服从正态分布，其中为未知参数，，为来自总体的简单随机样本，记，若，则( ).
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】由与，为来自总体的简单随机样本，，相互独立，且
，，
因而，令，所以的概率密度为
，
所以
，
由，即
，
解得，故选A.
二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11．求极限____________.
【答案】.
【解析】
.
12．已知函数满足，且，则
____________.
【答案】.
【解析】由已知，，则
，
所以，即，，
从而，又，解得，故
，.
13.____________.
【答案】.
【解析】令，则，且
，，
，
从而可得微分方程，解得，
又，，解得，故
.
14.某公司在时刻的资产为，则从时刻到时刻的平均资产等于，假设连续且，则____________.
【答案】.
【解析】由已知可得，整理变形，
等式两边求导，即，解得一阶线性微分方程通解为
，
又，解得，故.
15. 有解，其中为常数，若 ，则________.
【答案】
【解析】方程组有解，则 ，故.
16. 设随机变量与相互独立，且，，则与的相关系数为____________.
【答案】
【解析】由题意可得，，，又由与相互独立可知，，故
三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知函数满足，且.
（1）求的值;
（2）判断是否为函数的极值点.
【解】（1）将代入得.
方程两边对求导得
，
将代入上式得，解得.
(2)由（1）知，上式两边再对求导得
将代入上式得，所以是函数的极大值点.
18.（本题满分12分）
已知平面区域，
（1）求平面区域的面积.
(2)求平面区域绕一周所形成得旋转体的体积
【解】(1)
.
(2) .
19.（本题满分12分）
已知，求.
【解】令，则
20.（本题满分12分）
设函数在上有二阶连续导数.
（1）证明：若，存在，使得；
（2）若在上存在极值，证明：存在，使得.
【证明】(1)将在处展开为
，
其中介于与之间.
分别令和，则
，，
，，
两式相加可得
，
又函数在上有二阶连续导数，由介值定理知存在，使得
，
即.
(2)设在处取得极值，则.
将在处展开为
，
其中介于与之间.
分别令和，则
，，
，，
两式相减可得
，
所以
，
即.
21.（本题满分12分）
设矩阵满足对任意的均有.
(1)求
(2)求可逆矩阵与对角阵，使得.
【解】(1)由，得
，
即方程组对任意的均成立，故.
(2),
,
特征值为.
,;
,;
,,
令 ，则.
22.（本题满分12分）
设随机变量的概率密度函数为，令.
(1)求的分布函数；
(2)求的概率密度函数；
(3)判断的数学期望是否存在.
【解】(1)设的分布函数为，由分布函数的定义可得
.
(2)设的分布函数为，概率密度为，由分布函数的定义可得
，
当时，；
当时，
.
综上，
故的概率密度函数
(3)由(2)知，
，
故的数学期望不存在.
