2024年湖南中考数学试题及答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在日常生活中，若收入300元记作
元，则支出180元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，该纸杯的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
7．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）
A．130 B．158 C．160 D．192
9．如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．计算： ．
12．有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 ．
13．分式方程=1的解是 ．
14．一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 度．
15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
16．在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ．
17．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
18．如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次被抽取的学生人数为 人；
(2)补全条形统计图：
(3)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ；
(4)若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．
22．如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求线段的长．
23．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 | 测算某水池中雕塑底座的底面积 | |
测量工具 | 皮尺、测角仪、计算器等 | |
活动过程 | 模型抽象 | 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形
|
测绘过程与数据信息 | ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作 ③在点F处用测角仪测得 ④用计算器计算得： | |
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求线段和的长度：
(2)求底座的底面的面积．
25．已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
26．【问题背景】
已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时， ；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．B
5．D
6．A
7．C
8．B
9．D
10．C
11．2024
12．
13．x=1
14．
15．2
16．180
17．6
18．##
19．
20．，
21．(1)100
(2)见解析
(3)36
(4)300人
（2），
补全统计图如下：
22．(1)①或②，证明见解析；
(2)6
【详解】（1）解：选择①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴．
23．(1)50元、30元
(2)400棵
24．(1)7米；3米
(2)18平方米
25．(1)
(2)为定值3，证明见解析
(3)
26．（1）；（2）①证明见解析；②补全图形见解析，，
【详解】
解：
（2）①如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
②补全图形如图：
过点O作于点G，于点H，
在中，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴点E在线段上，
∴在，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴设，
∴由勾股定理得，
∴，
∴在中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
而，
∴，
∴在中，
