2023年内蒙古包头中考数学试卷及答案
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．下列各式计算结果为
的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
4．如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11．若为两个连续整数，且，则________．
12．若是一元二次方程的两个实数根，则________．
13．如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________．
14．已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________．
15．如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为________．
16．如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：
①平分； ②； ③四边形是菱形； ④
其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程：．
18．在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
(2)通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．
19．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为
(1)求行进路线和所在直线的夹角的度数；
(2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
20．随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．
(1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）
21．如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．
(1)求证：；（请用两种证法解答）
(2)若，的半径为3，，求的长．
22．如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点．
(1)如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若，且，
①求证：；
②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)是线段上一点，连接，且．
①求证：是直角三角形；
②的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．C
5．D
6．A
7．D
8．B
9．B
10．A
11．3
12．##
13．
14．2
15．5
16．①③④
17．（1），1；（2）
18．(1)该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆
(2)2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等
建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务
19．(1)行进路线和所在直线的夹角为
(2)检查点和之间的距离为
20．(1)
(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
21．(1)证明见解析
(2)8
【详解】（1）证法：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
22．(1)点在线段的垂直平分线上
(2)①证明见解析，②
23．(1)，，
(2)①证明见解析，②点的坐标为或
