2023年北京高考数学试题及答案
本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 已知集合
，则（ ）
A B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 的展开式中的系数为（ ）．
A. B. C. 40 D. 80
6. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知数列满足，则（ ）
A. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C. 当时，递减数列，且存在常数，使得恒成立
D. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知函数，则____________．
12. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________
15. 设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
17. 设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 | 价格变化 | |||||||||||||||||||
第1天到第20天 | - | + | + | 0 | - | - | - | + | + | 0 | + | 0 | - | - | + | - | + | 0 | 0 | + |
第21天到第40天 | 0 | + | + | 0 | - | - | - | + | + | 0 | + | 0 | + | - | - | - | + | 0 | - | + |
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
20. 设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数
21. 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数
（1）若，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足 使得．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
【11题答案】
【答案】1
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ① ②.
【14题答案】
【答案】 ①. 48 ②. 384
【15题答案】
【答案】②③
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）.
（2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）不变
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【20题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）3个
【21题答案】
【答案】（1），，，
（2）
（3）证明见详解
